Un peu de géométrie algébrique en apéritif

Dans l'excellent Basic Algebraic Geometry, Igor Shafarevic, spécialiste de géométrie algébrique commence par exposer de manière simple les rudiments de cette matière dans des cas simples, en l'occurence les ensembles algébriques d'un espace affine. Après avoir introduit de très belle manière les courbes algébriques planes (cet auteur, et c'est une chose qu'on retrouve dans plusieurs de ses livres, n'est pas avare en exemple!), notre cher Igor en vient au paragraphe 2 du premier chapitre (lui-même sobrement appelé Fundamental Concepts) à nous parler de ce qu'il nomme les sous-ensembles fermés des espaces affines. Le terme de fermé rappelle des notions topologiques, et c'est de bon augur puisque c'est de cela qu'il s'agit. Au milieu de la page 14, on peut lire:




k désignant un corps algébriquement clos, et A^n l'espace affine de dimension n sur k (qui est unique à isomorphisme d'espace affine sur k près). Ce qu'il désgine par closed subset s'appelle parfois ensemble algébrique. Dans la suite, il va démontrer (sans le dire!) que cet ensemble qu'il vient de se donner (l'ensemble des closed subsets) forme une topologie sur l'ensemble A^n. Il s'agit en fait de la topologie dite de Zariski, découverte par le mathématicien du même nom. Il commence par montrer que l'intersection d'un nombre quelconque d'ensembles algébriques est encore algébrique:





Ce qu'il "omet" de dire (c'est surement une chose évidente pour un mathématicien de son calibre) c'est que l'idéal A "gothique) est engendré par un nombre fini d'éléments G1,...,Gm car l'anneau des polynômes à plusieurs variables à coefficients dans k est noetherien. Ensuite, il passe à la démonstration du deuxième axiôme d'une topologie: l'union d'un nombre fini de fermés est fermé.









Cette topologie qu'il vient de construire joue un rôle important dans l'étude des courbes algébriques, et se généralise même a des espaces plus généraux et compliqués que l'espace affine A^n considéré ici.