Qu'est-ce qu'une limite inductive ?

Comment construire un nouvel ensemble qui soit "interessant" à partir d'une collection d'ensembles donnée? Avec par exemple la notion de limite inductive, qui est évoquée de manière extrêmement brève, mais particulièrement concise par Roger Godement (dont les livres sont tous des merveilles-j'espère avoir l'occasion d'en reparler dans d'autres messages) dans le livre intitulé Théorie des faisceaux. Le fait que l'objectif avoué dans la préface de cet ouvrage est d'abord de présenter un

exposé complet, i.e moins incomplet que les autres, de la théorie des faisceaux

explique le fait que l'auteur ne s'étende pas plus que cela sur la notion de limite inductive; pourtant, elle est présentée avec rigueur et précision (comme toujours avec Godement, ancien membre du collectif Bourbaki):



Certes, l'auteur ne revient pas sur la notion d'ensemble ordonné filtrant décroissant, ni sur celle d'ensemble somme et on le comprend car le but du livre est tout autre. Rappelons ce qu'elles sont: la première signifie que l'ensemble I considéré est muni d'une relation d'ordre =< telle que pour tous éléments i et j de I, on peut trouver un élément k dans I tel que k =< i,j. La seconde notion est purement ensembliste, l'ensemble somme des Ei étant l'ensemble des éléments x tels qu'il existe i dans I tel que x appartient à Ei. L'existence d'un tel ensemble (qu'on peut voir comme la réunion de tous les Ei) est assurée par l'axiome dit de la réunion, un des axiomes de bases de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF), théorie dans laquelle on se place usuellement en mathématiques.

Mais à quoi ça sert une limite inductive d'ensemble ? Par exemple à montrer l'existence d'une extension algébriquement close pour tout corps (c'est-à-dire, pour un corps donné, créer un ensemble plus gros le contenant, et qui soit un corps dans lequel tout polynôme a au moins une racine); car ce qui est pratique avec la limite inductive, c'est que si les Ei sont initialement muni d'une structure de groupe (resp. anneau) au départ, on peut alors munir cet ensemble d'une structure de groupe (resp. d'anneaux), ce que mentionne quelques lignes plus loin notre ami Roger Godement.