Lars Hörmander ou comment présenter l'analyse complexe efficacement...

Il existe de nombreux livres traitant de l'analyse complexe, mais l'un d'eux nommé Introduction to Complex Analysis in Several Variables est présenté par certains comme LA référence. Cet ouvrage, écrit par le lauréat de la médaille Fields Lars Hörmander est en effet très joli, mais est à déconseiller à quiconque veut s'initier à cet belle branche des mathématiques qu'est l'analyse complexe. L'auteur fait preuve d'une concision remarquable, ce qui troublera sans doute les néophytes. Pourtant sa présentation va droit à l'essentiel, les démonstrations sont les plus courtes et les plus agréables qu'on puisse faire il me semble. Ce n'est pas étonnant de la part d'un mathématicien qui a reçu la médaille Fields d'écrire un cours qui soit d'une clarté et d'une efficacité démentes. Par exemple, il prouve dès la page 2 du manuel (!) la formule dite de Cauchy-Pompeiu, après avoir rappelé la formule de Stokes:



S'en suit la démonstration proprement dite:



Comme on le voit, l'auteur boucle la démonstration du théorème en moins de 6 lignes. Il utilise dans celle-ci sans le mentionner le théorème de convergence dominée de Lebesgue. De fait, les prérecquis supposés par l'auteur concernent tous les savoirs de base en analyse fonctionnelle. On peut rajouter aussi qu'il est nécéssaire d'avoir quelques connaissances sur les formes différentielles pour bien comprendre de quoi il retourne, puisqu'il utilise le point de vue des formes différentielles pour traiter de la théorie des fonctions holomorphes (ou analytiques).

En bref, je resumerais tout cela par un seul mot: efficacité.